Orientação pedagógica: identifique primeiro o tipo de fator, escreva a decomposição e só então procure os coeficientes.
Exercício 1 — Lineares distintos
\[\int\frac{3x+7}{(x-1)(x+2)}\,dx\]
1. Modelo:\[\frac{3x+7}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}\]
2. Identidade:\[3x+7=A(x+2)+B(x-1)\]
3. Coeficientes: para \(x=1\), \(10=3A\Rightarrow A=\frac{10}{3}\). Para \(x=-2\), \(1=-3B\Rightarrow B=-\frac13\).
4. Resultado:\[\boxed{\frac{10}{3}\ln|x-1|-\frac13\ln|x+2|+C}\]
Exercício 2 — Linear repetido
\[\int\frac{x+4}{(x+1)^2}\,dx\]
1. Modelo:\[\frac{x+4}{(x+1)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}\]
2. Identidade:\[x+4=A(x+1)+B\]
3. Coeficientes: comparando, \(A=1\) e \(A+B=4\), logo \(B=3\).
4. Resultado:\[\boxed{\ln|x+1|-\frac{3}{x+1}+C}\]
Exercício 3 — Linear e quadrático
\[\int\frac{x+5}{(x^2+4)(x-1)}\,dx\]
1. Modelo:\[\frac{x+5}{(x^2+4)(x-1)}=\frac{Ax+B}{x^2+4}+\frac{C}{x-1}\]
2. Identidade:\[x+5=(Ax+B)(x-1)+C(x^2+4)\]
3. Sistema:\[A+C=0,\quad -A+B=1,\quad -B+4C=5\]
4. Coeficientes:\[A=-\frac65,\quad B=-\frac15,\quad C=\frac65\]
5. Resultado:\[\boxed{-\frac35\ln(x^2+4)-\frac1{10}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+\frac65\ln|x-1|+C}\]
Exercício 4 — Quadrático repetido
\[\int\frac{2x^2+3}{(x^2+1)^2}\,dx\]
1. Reescrita útil:\[2x^2+3=2(x^2+1)+1\]
2. Separação:\[2\int\frac{dx}{x^2+1}+\int\frac{dx}{(x^2+1)^2}\]
3. Fórmula:\[\int\frac{dx}{(x^2+1)^2}=\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac12\arctan x\]
4. Resultado:\[\boxed{\frac52\arctan x+\frac{x}{2(x^2+1)}+C}\]
Exercício 5 — Combinação linear
\[\int\frac{x^2+2x+3}{x(x-1)^2}\,dx\]
1. Modelo:\[\frac{x^2+2x+3}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}\]
2. Identidade:\[x^2+2x+3=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx\]
3. Coeficientes:\[A=3,\qquad B=-2,\qquad C=6\]
4. Resultado:\[\boxed{3\ln|x|-2\ln|x-1|-\frac6{x-1}+C}\]
Exercício 6 — Combinação avançada
\[\int\frac{x^3+2x^2+4}{(x+1)^2(x^2+4)}\,dx\]
1. Modelo:\[\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+4}\]
2. Identidade:\[x^3+2x^2+4=A(x+1)(x^2+4)+B(x^2+4)+(Cx+D)(x+1)^2\]
3. Coeficientes:\[A=\frac15,\quad B=1,\quad C=\frac45,\quad D=-\frac45\]
4. Resultado:\[\boxed{\frac15\ln|x+1|-\frac1{x+1}+\frac25\ln(x^2+4)-\frac25\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C}\]
Fechamento
Uma boa verificação consiste em derivar o resultado e reconstruir a função racional original.
