Seno hiperbólico
\[\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2\]
Função ímpar: \(\sinh(-x)=-\sinh x\).
〰️ Exponenciais em equilíbrio
Funções que nascem de \(e^x\) e \(e^{-x}\)
As funções hiperbólicas aparecem em cabos suspensos, comprimento de arco, superfícies de revolução, equações diferenciais, física e engenharia. Elas não são funções trigonométricas: sua construção vem das exponenciais.
Ideia-chave: compreender as definições e os gráficos torna as regras de derivação e integração muito mais naturais.
1. Definições fundamentais
As funções principais são construídas diretamente a partir das exponenciais.
Cosseno hiperbólico
\[\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2\]
Função par e sempre positiva: \(\cosh x\ge1\).
Tangente hiperbólica
\[\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}\]
Seus valores permanecem entre \(-1\) e \(1\).
2. Laboratório gráfico e numérico
Movimente \(x\), escolha a função e acompanhe os valores no gráfico.
🧪 Explorador hiperbólico
Compare \(\sinh x\), \(\cosh x\) e \(\tanh x\).
Gráficos em \([-3,3]\)mova o controle
1,0000\(e^x\)
1,0000\(e^{-x}\)
0,0000\(\sinh x\)
1,0000\(\cosh x\)
0,0000\(\tanh x\)
\[\cosh^2x-\sinh^2x=1\]
Verificação numérica: 1,000000
3. Identidade fundamental
Acompanhe a dedução de \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\).
Dedução guiada
Passo 1 — Substituir as definições\[\left(\frac{e^x+e^{-x}}2\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}2\right)^2\]
Consequências importantes
\[\cosh^2x=1+\sinh^2x\]
\[\sinh^2x=\cosh^2x-1\]
Cuidado com a raiz:\[\sqrt{1+\sinh^2x}=\sqrt{\cosh^2x}=|\cosh x|=\cosh x,\] pois \(\cosh x>0\).
4. Derivadas
As regras básicas se combinam com cadeia, produto e quociente.
| Função | Derivada | Observação |
|---|---|---|
| \(\sinh x\) | \(\cosh x\) | A derivada troca \(\sinh\) por \(\cosh\). |
| \(\cosh x\) | \(\sinh x\) | Não surge sinal negativo. |
| \(\tanh x\) | \(\operatorname{sech}^2x\) | Segue da regra do quociente. |
| \(\operatorname{sech}x\) | \(-\operatorname{sech}x\tanh x\) | \(\operatorname{sech}x=1/\cosh x\). |
| \(\coth x\) | \(-\operatorname{csch}^2x\) | Definida para \(x\ne0\). |
| \(\operatorname{csch}x\) | \(-\operatorname{csch}x\coth x\) | \(\operatorname{csch}x=1/\sinh x\). |
Dedução:\[\frac{d}{dx}\cosh x=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x+e^{-x}}2\right)=\frac{e^x-e^{-x}}2=\sinh x.\]
Assistente de derivação
Resolução
Escolha um exemplo e clique no botão.
5. Integrais
Integrais básicas são o caminho inverso das derivadas; argumentos compostos exigem compensação.
Diretas
\[\int\sinh x\,dx=\cosh x+C\]\[\int\cosh x\,dx=\sinh x+C\]
Argumento linear
\[\int\cosh(ax+b)\,dx=\frac1a\sinh(ax+b)+C\]
Outras úteis
\[\int\operatorname{sech}^2x\,dx=\tanh x+C\]\[\int\operatorname{csch}^2x\,dx=-\coth x+C\]
Assistente de integração
Resolução
Escolha um exemplo e clique no botão.
6. Potências hiperbólicas
Identidades de redução de potência são essenciais nas aplicações.
\(\cosh^2x\)
\[\cosh^2x=\frac{1+\cosh(2x)}2\]
\[\int\cosh^2x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sinh(2x)}4+C\]\(\sinh^2x\)
\[\sinh^2x=\frac{\cosh(2x)-1}2\]
\[\int\sinh^2x\,dx=\frac{\sinh(2x)}4-\frac{x}{2}+C\]7. Exemplos resolvidos
Abra cada exemplo para acompanhar a estratégia.
Derivar \(y=\cosh(5x)\)
\[y'=\sinh(5x)\cdot5=\boxed{5\sinh(5x)}\]
Derivar \(y=\sinh(x^2+1)\)
\[y'=\cosh(x^2+1)\cdot2x=\boxed{2x\cosh(x^2+1)}\]
Derivar \(y=x\cosh x\)
\[y'=\cosh x+x\sinh x\]
Integrar \(\int\cosh(3x)\,dx\)
\[\boxed{\int\cosh(3x)\,dx=\frac13\sinh(3x)+C}\]
Calcular \(\int_0^1\cosh^2x\,dx\)
\[\int_0^1\cosh^2x\,dx=\left[\frac{x}{2}+\frac{\sinh(2x)}4\right]_0^1=\boxed{\frac12+\frac{\sinh2}{4}}\]
Aplicação em superfície de revolução
Para \(y=\cosh x\), temos \(y'=\sinh x\) e \(\sqrt{1+(y')^2}=\cosh x\). Assim, em \(0\le x\le1\):
\[A=2\pi\int_0^1\cosh^2x\,dx=\boxed{\pi\left(1+\frac{\sinh2}{2}\right)}\]8. Verifique sua aprendizagem
Escolha uma alternativa; a correção aparece imediatamente.
1. Derivada de \(\sinh x\)
2. A função \(\cosh x\) é:
3. \(\cosh^2x-\sinh^2x\) vale:
4. \(\int\cosh(4x)\,dx\)
Pontuação: 0 de 4
9. Checklist de resolução
① Identifique
Reconheça a função hiperbólica.
Reconheça a função hiperbólica.
② Observe o argumento
Procure uma função interna.
Procure uma função interna.
③ Aplique a fórmula
Use a regra básica adequada.
Use a regra básica adequada.
④ Regra da cadeia
Multiplique pela derivada interna.
Multiplique pela derivada interna.
⑤ Compense
Ao integrar \(ax+b\), divida por \(a\).
Ao integrar \(ax+b\), divida por \(a\).
⑥ Simplifique
Use identidades hiperbólicas.
Use identidades hiperbólicas.