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Esta página deve ser usada depois de uma tentativa real de resolução. O objetivo não é apenas conferir o resultado, mas acompanhar o caminho: identificar as razões no triângulo, aplicar Pitágoras, deduzir identidades e usar essas relações para simplificar integrais.
Dica de estudo: tente resolver cada item no caderno antes de abrir a resposta.
Depois, compare sua escrita com a solução comentada e observe onde a geometria entra na álgebra.
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\[
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\qquad
1+\tan^2\theta=\sec^2\theta,\qquad
1+\cot^2\theta=\csc^2\theta.
\]
Bloco 1 — Reconhecimento no triângulo
Neste bloco, o foco é reconhecer lados e razões trigonométricas no triângulo retângulo.
1. Identifique cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa em relação a \(\theta\)
Localize primeiro o ângulo \(\theta\) no triângulo retângulo.
A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto. É o maior lado do triângulo.
O cateto oposto é o cateto que fica em frente ao ângulo \(\theta\).
O cateto adjacente é o cateto que encosta no ângulo \(\theta\), sem ser a hipotenusa.
Resposta: hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de \(90^\circ\);
cateto oposto fica em frente a \(\theta\); cateto adjacente fica ao lado de \(\theta\).
2. Escreva \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) e \(\tan\theta\) usando \(a\), \(b\) e \(c\)
Considere \(a\) como cateto oposto, \(b\) como cateto adjacente e \(c\) como hipotenusa.
O seno compara o cateto oposto com a hipotenusa.
O cosseno compara o cateto adjacente com a hipotenusa.
A tangente compara o cateto oposto com o cateto adjacente.
\[
\sin\theta=\frac{a}{c},\qquad
\cos\theta=\frac{b}{c},\qquad
\tan\theta=\frac{a}{b}.
\]
Resposta final: \(\sin\theta=\frac ac\), \(\cos\theta=\frac bc\), \(\tan\theta=\frac ab\)
3. Explique com palavras por que \(\sin\theta\) e \(\cos\theta\) são razões
Uma razão é uma comparação por divisão entre duas grandezas.
O seno compara o cateto oposto com a hipotenusa.
O cosseno compara o cateto adjacente com a hipotenusa.
Como ambos são quocientes entre lados do triângulo, ambos são razões.
Resposta: \(\sin\theta\) e \(\cos\theta\) são razões porque representam
divisões entre medidas de lados do triângulo retângulo.
4. Para \(\theta=30^\circ\), estime \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) e verifique \(\sin^2\theta+\cos^2\theta\)
Usamos os valores conhecidos: \(\sin 30^\circ=\frac12\).
Também temos: \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\).
Elevamos ao quadrado:
\[
\left(\frac12\right)^2=\frac14,\qquad
\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34.
\]
Somamos:
\[
\frac14+\frac34=1.
\]
\[
\sin^2 30^\circ+\cos^2 30^\circ
=\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2
=\frac14+\frac34=1.
\]
Verificação: a soma é \(1\)
Bloco 2 — Dedução das identidades
Aqui o estudante confirma que as identidades não nascem da memorização, mas do Teorema de Pitágoras.
1. Partindo de \(a^2+b^2=c^2\), deduza \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
Começamos com Pitágoras:
\[
a^2+b^2=c^2.
\]
Dividimos todos os termos por \(c^2\):
\[
\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}.
\]
Reescrevemos:
\[
\left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2=1.
\]
Como \(\frac ac=\sin\theta\) e \(\frac bc=\cos\theta\), concluímos:
\[
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
\]
2. Divida a identidade fundamental por \(\cos^2\theta\) e obtenha \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\)
Partimos da identidade fundamental:
\[
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
\]
Dividimos todos os termos por \(\cos^2\theta\):
\[
\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+
\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}
=
\frac{1}{\cos^2\theta}.
\]
Reconhecemos:
\[
\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\tan^2\theta,\qquad
\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}=1,\qquad
\frac1{\cos^2\theta}=\sec^2\theta.
\]
Logo:
\[
\tan^2\theta+1=\sec^2\theta.
\]
Resposta: escrevemos usualmente \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\).
3. Divida a identidade fundamental por \(\sin^2\theta\) e obtenha \(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\)
Partimos novamente de:
\[
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
\]
Dividimos todos os termos por \(\sin^2\theta\):
\[
\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta}+
\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}
=
\frac1{\sin^2\theta}.
\]
Reconhecemos:
\[
\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta}=1,\qquad
\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\cot^2\theta,\qquad
\frac1{\sin^2\theta}=\csc^2\theta.
\]
Logo:
\[
1+\cot^2\theta=\csc^2\theta.
\]
4. Explique por que essas identidades continuam verdadeiras quando o ângulo muda
Quando o ângulo muda, os lados do triângulo também mudam.
Mesmo assim, o triângulo continua sendo retângulo.
Em todo triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras.
Como as identidades foram deduzidas de Pitágoras, elas continuam verdadeiras para qualquer ângulo em que as razões estejam definidas.
Resposta: elas permanecem verdadeiras porque expressam uma relação estrutural
do triângulo retângulo, não uma coincidência numérica de um ângulo específico.
Bloco 3 — Primeiras aplicações em integrais
Agora as identidades aparecem como ferramenta de transformação algébrica antes da integração.
1. Calcule \(\int \tan^2x\,dx\)
Escolhemos a identidade:
\[
1+\tan^2x=\sec^2x.
\]
Isolamos \(\tan^2x\):
\[
\tan^2x=\sec^2x-1.
\]
Reescrevemos a integral:
\[
\int \tan^2x\,dx=\int(\sec^2x-1)\,dx.
\]
Integramos termo a termo:
\[
\int\sec^2x\,dx-\int 1\,dx=\tan x-x+C.
\]
\[
\boxed{\int \tan^2x\,dx=\tan x-x+C}
\]
Resposta: \(\tan x-x+C\)
2. Reescreva \(\sec^2x-1\) usando tangente
Partimos da identidade:
\[
1+\tan^2x=\sec^2x.
\]
Subtraímos \(1\) dos dois lados:
\[
\tan^2x=\sec^2x-1.
\]
Logo, a expressão \(\sec^2x-1\) pode ser substituída por \(\tan^2x\).
\[
\sec^2x-1=\tan^2x.
\]
Resposta: \(\tan^2x\)
3. Explique por que \(1+\tan^2x=\sec^2x\) facilita a integral de \(\tan^2x\)
A integral direta de \(\tan^2x\) não é uma primitiva imediata básica.
A identidade permite trocar \(\tan^2x\) por \(\sec^2x-1\).
A integral de \(\sec^2x\) é conhecida:
\[
\int \sec^2x\,dx=\tan x.
\]
A integral de \(1\) também é imediata:
\[
\int 1\,dx=x.
\]
Resposta: a identidade transforma a integral de \(\tan^2x\) em uma diferença
de integrais conhecidas: \(\int(\sec^2x-1)\,dx\).
4. Indique qual identidade está por trás da substituição \(x=a\sin\theta\)
Essa substituição é usada, em geral, quando aparece a forma:
\[
\sqrt{a^2-x^2}.
\]
Tomando \(x=a\sin\theta\), temos:
\[
x^2=a^2\sin^2\theta.
\]
Então:
\[
a^2-x^2=a^2-a^2\sin^2\theta=a^2(1-\sin^2\theta).
\]
A identidade usada é:
\[
1-\sin^2\theta=\cos^2\theta.
\]
Essa identidade vem da fundamental:
\[
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
\]
\[
\sqrt{a^2-x^2}
=
\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}
=
\sqrt{a^2\cos^2\theta}
=
a\cos\theta.
\]
Identidade-chave: \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\)