Como usar este espaço digital?
Esta página deve ser usada depois de uma tentativa real de resolução. O objetivo não é apenas conferir resultados, mas observar o caminho matemático: escolher \(u\), calcular \(du\), substituir corretamente e voltar para a variável original quando necessário.
Dica de estudo: antes de abrir cada resposta, tente identificar a parte interna.
Depois, confira se a derivada dessa parte aparece na integral, diretamente ou com ajuste de constante.
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Use conferência rápida para abrir as respostas completas ou passo a passo para treinar a memória da resolução, revelando uma etapa por vez.
\[
u=g(x),\qquad du=g'(x)\,dx,\qquad
\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
\]
Bloco 1 — Identifique \(u\)
O primeiro treinamento é reconhecer a expressão interna que simplifica a integral.
1. \(\displaystyle \int 2x(x^2+3)^7\,dx\)
A expressão interna mais natural é \(x^2+3\).
Escolhemos \(u=x^2+3\).
A derivada é \(du=2x\,dx\), exatamente o fator que acompanha a potência.
Logo, a substituição transforma a integral em \(\int u^7\,du\).
\[u=x^2+3\]
Resultado conferido
2. \(\displaystyle \int 5(5x-1)^4\,dx\)
A expressão interna é \(5x-1\).
Escolhemos \(u=5x-1\).
A derivada é \(du=5\,dx\), que aparece multiplicando a potência.
A integral passa a ter a forma \(\int u^4\,du\).
\[u=5x-1\]
Resultado conferido
3. \(\displaystyle \int \cos(4x)\,dx\)
O cosseno possui argumento composto: \(4x\).
Escolhemos \(u=4x\).
A derivada é \(du=4\,dx\), então será necessário ajustar a constante \(\frac{1}{4}\).
A integral será transformada em \(\frac{1}{4}\int \cos u\,du\).
\[u=4x\]
Resultado conferido
4. \(\displaystyle \int \frac{3x^2}{x^3+1}\,dx\)
O denominador é \(x^3+1\).
Escolhemos \(u=x^3+1\).
A derivada é \(du=3x^2\,dx\), exatamente o numerador acompanhado de \(dx\).
A integral passa a ser \(\int \frac{1}{u}\,du\), que gera logaritmo natural.
\[u=x^3+1\]
Resultado conferido
5. \(\displaystyle \int e^{2x+5}\,dx\)
A expressão interna está no expoente: \(2x+5\).
Escolhemos \(u=2x+5\).
A derivada é \(du=2\,dx\), então \(dx=\frac{1}{2}\,du\).
A integral será \(\frac{1}{2}\int e^u\,du\).
\[u=2x+5\]
Resultado conferido
6. \(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,dx\)
A expressão dentro da raiz é \(x^2+4\).
Escolhemos \(u=x^2+4\).
A derivada é \(du=2x\,dx\), mas a integral possui apenas \(x\,dx\).
Será necessário usar o ajuste \(x\,dx=\frac{1}{2}du\).
\[u=x^2+4\]
Resultado conferido
Bloco 2 — Calcule \(du\)
Depois de escolher \(u\), é obrigatório calcular o diferencial corretamente.
1. Se \(u=x^2+5\), calcule \(du\)
Derivamos \(u=x^2+5\) em relação a \(x\).
Temos \(\frac{du}{dx}=2x\).
Multiplicando por \(dx\), obtemos \(du=2x\,dx\).
\[du=2x\,dx\]
Resultado conferido
2. Se \(u=3x-7\), calcule \(du\)
A função interna é linear.
A derivada de \(3x-7\) é \(3\).
Logo, \(du=3\,dx\).
\[du=3\,dx\]
Resultado conferido
3. Se \(u=x^3+2\), calcule \(du\)
Derivamos \(x^3+2\).
A derivada de \(x^3\) é \(3x^2\), e a derivada da constante é zero.
Portanto, \(du=3x^2\,dx\).
\[du=3x^2\,dx\]
Resultado conferido
4. Se \(u=\sqrt{x^2+1}\), calcule \(du\)
Reescrevemos \(u=(x^2+1)^{1/2}\).
Pela Regra da Cadeia, \(du=\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x\,dx\).
Simplificando, \(du=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\).
\[du=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\]
Resultado conferido
5. Se \(u=\sin x\), calcule \(du\)
A derivada de \(\sin x\) é \(\cos x\).
Assim, \(\frac{du}{dx}=\cos x\).
Logo, \(du=\cos x\,dx\).
\[du=\cos x\,dx\]
Resultado conferido
6. Se \(u=\ln x\), calcule \(du\)
A derivada de \(\ln x\) é \(\frac{1}{x}\), para \(x>0\).
Logo, \(\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\).
Portanto, \(du=\frac{1}{x}\,dx\).
\[du=\frac{1}{x}\,dx\]
Resultado conferido
Bloco 3 — Integrais indefinidas
Agora fazemos a substituição completa, resolvemos em \(u\) e voltamos para \(x\).
1. \(\displaystyle \int 2x(x^2+1)^5\,dx\)
Escolhemos \(u=x^2+1\).
Então \(du=2x\,dx\).
Substituindo, obtemos \(\int u^5\,du\).
Integrando, \(\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C\).
Voltando para \(x\), temos \(\frac{(x^2+1)^6}{6}+C\).
\[\int 2x(x^2+1)^5\,dx=\frac{(x^2+1)^6}{6}+C\]
Resultado conferido
2. \(\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx\)
Escolhemos \(u=x^2+1\).
Então \(du=2x\,dx\).
A integral fica \(\int \frac{1}{u}\,du\).
Como \(\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C\), obtemos \(\ln|x^2+1|+C\).
Como \(x^2+1>0\), podemos escrever \(\ln(x^2+1)+C\).
\[\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\]
Resultado conferido
3. \(\displaystyle \int 4(4x-3)^6\,dx\)
Escolhemos \(u=4x-3\).
Então \(du=4\,dx\).
Substituindo, obtemos \(\int u^6\,du\).
A primitiva é \(\frac{u^7}{7}+C\).
Voltando para \(x\), o resultado é \(\frac{(4x-3)^7}{7}+C\).
\[\int 4(4x-3)^6\,dx=\frac{(4x-3)^7}{7}+C\]
Resultado conferido
4. \(\displaystyle \int 3e^{3x+2}\,dx\)
Escolhemos \(u=3x+2\).
Então \(du=3\,dx\).
A integral se transforma em \(\int e^u\,du\).
Integrando, obtemos \(e^u+C\).
Voltando para \(x\), temos \(e^{3x+2}+C\).
\[\int 3e^{3x+2}\,dx=e^{3x+2}+C\]
Resultado conferido
5. \(\displaystyle \int 2x\sin(x^2)\,dx\)
Escolhemos \(u=x^2\).
Então \(du=2x\,dx\).
A integral fica \(\int \sin u\,du\).
A primitiva de \(\sin u\) é \(-\cos u\).
Voltando para \(x\), o resultado é \(-\cos(x^2)+C\).
\[\int 2x\sin(x^2)\,dx=-\cos(x^2)+C\]
Resultado conferido
6. \(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx\)
Escolhemos \(u=x^2+9\).
Então \(du=2x\,dx\), logo \(x\,dx=\frac{1}{2}du\).
A integral vira \(\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du\).
Integrando: \(\frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C\).
Voltando para \(x\), temos \(\sqrt{x^2+9}+C\).
\[\int \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\,dx=\sqrt{x^2+9}+C\]
Resultado conferido
7. \(\displaystyle \int \frac{6x}{3x^2+4}\,dx\)
Escolhemos \(u=3x^2+4\).
Então \(du=6x\,dx\).
A integral fica \(\int \frac{1}{u}\,du\).
Logo, o resultado é \(\ln|u|+C\).
Como \(3x^2+4>0\), escrevemos \(\ln(3x^2+4)+C\).
\[\int \frac{6x}{3x^2+4}\,dx=\ln(3x^2+4)+C\]
Resultado conferido
8. \(\displaystyle \int \cos(7x)\,dx\)
Escolhemos \(u=7x\).
Então \(du=7\,dx\), logo \(dx=\frac{1}{7}du\).
A integral fica \(\frac{1}{7}\int \cos u\,du\).
Integrando, obtemos \(\frac{1}{7}\sin u+C\).
Voltando para \(x\), temos \(\frac{1}{7}\sin(7x)+C\).
\[\int \cos(7x)\,dx=\frac{1}{7}\sin(7x)+C\]
Resultado conferido
Bloco 4 — Integrais definidas com troca de limites
Em integrais definidas, podemos trocar os limites para a variável \(u\) e resolver até o final nessa nova variável.
1. \(\displaystyle \int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx\)
Escolhemos \(u=x^2+1\), então \(du=2x\,dx\).
Trocamos os limites: se \(x=0\), então \(u=1\); se \(x=1\), então \(u=2\).
A integral vira \(\int_1^2 u^3\,du\).
Calculamos \(\left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2=\frac{16-1}{4}\).
Logo, o valor é \(\frac{15}{4}\).
\[\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{15}{4}\]
Resultado conferido
2. \(\displaystyle \int_0^2 x(x^2+4)^2\,dx\)
Escolhemos \(u=x^2+4\).
Então \(du=2x\,dx\), logo \(x\,dx=\frac{1}{2}du\).
Trocamos os limites: \(x=0\Rightarrow u=4\); \(x=2\Rightarrow u=8\).
A integral vira \(\frac{1}{2}\int_4^8u^2\,du\).
Calculando: \(\frac{1}{2}\left[\frac{u^3}{3}\right]_4^8=\frac{1}{2}\cdot\frac{512-64}{3}=\frac{224}{3}\).
\[\int_0^2 x(x^2+4)^2\,dx=\frac{224}{3}\]
Resultado conferido
3. \(\displaystyle \int_0^1 3e^{3x}\,dx\)
Escolhemos \(u=3x\), então \(du=3\,dx\).
Trocamos os limites: \(x=0\Rightarrow u=0\); \(x=1\Rightarrow u=3\).
A integral fica \(\int_0^3 e^u\,du\).
Calculando, \(\left[e^u\right]_0^3=e^3-1\).
\[\int_0^1 3e^{3x}\,dx=e^3-1\]
Resultado conferido
4. \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx\)
Escolhemos \(u=\sin x\).
Então \(du=\cos x\,dx\).
Trocamos os limites: \(x=0\Rightarrow u=0\); \(x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow u=1\).
A integral fica \(\int_0^1 u\,du\).
Calculando, \(\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}\).
\[\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx=\frac{1}{2}\]
Resultado conferido
5. \(\displaystyle \int_1^2 \frac{2x}{x^2+1}\,dx\)
Escolhemos \(u=x^2+1\), então \(du=2x\,dx\).
Trocamos os limites: \(x=1\Rightarrow u=2\); \(x=2\Rightarrow u=5\).
A integral fica \(\int_2^5\frac{1}{u}\,du\).
Calculando, \(\left[\ln u\right]_2^5=\ln 5-\ln 2\).
Pela propriedade dos logaritmos, \(\ln 5-\ln 2=\ln\left(\frac{5}{2}\right)\).
\[\int_1^2 \frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln\left(\frac52\right)\]
Resultado conferido
6. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx\)
Escolhemos \(u=x^2+1\).
Então \(du=2x\,dx\), logo \(x\,dx=\frac{1}{2}du\).
Trocamos os limites: \(x=0\Rightarrow u=1\); \(x=1\Rightarrow u=2\).
A integral vira \(\frac{1}{2}\int_1^2u^{-1/2}\,du\).
Calculando, \(\frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}\big|_1^2=\sqrt2-1\).
\[\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx=\sqrt2-1\]
Resultado conferido
Bloco 5 — Desafio misto: decidir antes de calcular
Aqui o estudante precisa decidir se a substituição simples é de fato a melhor técnica.
1. \(\displaystyle \int x e^{x^2}\,dx\)
A técnica indicada é substituição.
Escolhemos \(u=x^2\), então \(du=2x\,dx\).
Como aparece \(x\,dx\), usamos \(x\,dx=\frac{1}{2}du\).
A integral vira \(\frac{1}{2}\int e^u\,du\).
Logo, o resultado é \(\frac{1}{2}e^{x^2}+C\).
\[\int x e^{x^2}\,dx=\frac{1}{2}e^{x^2}+C\]
Resultado conferido
2. \(\displaystyle \int x\ln x\,dx\)
Aqui aparece produto de funções: \(x\) e \(\ln x\).
A substituição simples não é a melhor técnica.
A técnica indicada é Integração por Partes, com \(u=\ln x\) e \(dv=x\,dx\).
Então \(du=\frac{1}{x}\,dx\) e \(v=\frac{x^2}{2}\).
Aplicando partes: \(\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\).
Logo, \(\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C\).
\[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C\]
Resultado conferido
3. \(\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}\,dx\)
Esta integral não pede substituição simples.
Ela é uma primitiva fundamental relacionada à função arco-tangente.
Sabemos que \(\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\).
Portanto, a resposta é \(\arctan x+C\).
\[\int \frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctan x+C\]
Resultado conferido
4. \(\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^2+x+5}\,dx\)
A técnica indicada é substituição.
Escolhemos \(u=x^2+x+5\).
Então \(du=(2x+1)\,dx\), exatamente o numerador acompanhado de \(dx\).
A integral vira \(\int\frac{1}{u}\,du\).
Logo, o resultado é \(\ln|u|+C\).
Como \(x^2+x+5>0\), podemos escrever \(\ln(x^2+x+5)+C\).
\[\int \frac{2x+1}{x^2+x+5}\,dx=\ln(x^2+x+5)+C\]
Resultado conferido
5. \(\displaystyle \int \sqrt{5x+2}\,dx\)
A técnica indicada é substituição.
Escolhemos \(u=5x+2\), então \(du=5\,dx\).
Logo, \(dx=\frac{1}{5}du\).
A integral vira \(\frac{1}{5}\int u^{1/2}\,du\).
Calculando, \(\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C=\frac{2}{15}u^{3/2}+C\).
Voltando para \(x\), obtemos \(\frac{2}{15}(5x+2)^{3/2}+C\).
\[\int \sqrt{5x+2}\,dx=\frac{2}{15}(5x+2)^{3/2}+C\]
Resultado conferido
6. \(\displaystyle \int \frac{\cos x}{1+\sin x}\,dx\)
A técnica indicada é substituição.
Escolhemos \(u=1+\sin x\).
Então \(du=\cos x\,dx\).
A integral vira \(\int\frac{1}{u}\,du\).
Logo, o resultado é \(\ln|u|+C\).
Voltando para \(x\), temos \(\ln|1+\sin x|+C\).
\[\int \frac{\cos x}{1+\sin x}\,dx=\ln|1+\sin x|+C\]
Resultado conferido