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Esta página deve ser usada depois de uma tentativa real de resolução. O objetivo não é apenas conferir resultados, mas observar o caminho matemático: identificar a grandeza acumulada, montar a integral definida, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e interpretar a resposta.
Dica de estudo: antes de abrir cada resposta, tente resolver no caderno. Depois,
compare sua solução com a resposta comentada. Em problemas de área, observe sempre se a
integral representa área com sinal ou área geométrica total.
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\[
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), \qquad \text{quando } F'(x)=f(x).
\]
Bloco 1 — Cálculo direto
Aqui treinamos o uso direto do Teorema Fundamental do Cálculo.
1. Calcule \(\int_0^4 2x\,dx\)
Identificamos o integrando: \(f(x)=2x\), no intervalo \([0,4]\).
Uma primitiva é \(F(x)=x^2\), pois \(F'(x)=2x\).
Aplicamos os limites: \(F(4)-F(0)=4^2-0^2=16\).
\[\int_0^4 2x\,dx=\left[x^2\right]_0^4=16.\]
Resposta: \(16\)
2. Calcule \(\int_1^2 x^3\,dx\)
A primitiva de \(x^3\) é \(F(x)=\frac{x^4}{4}\).
Substituímos o limite superior: \(F(2)=\frac{2^4}{4}=4\).
Substituímos o limite inferior: \(F(1)=\frac{1^4}{4}=\frac14\).
Fazemos a diferença: \(4-\frac14=\frac{15}{4}\).
\[\int_1^2 x^3\,dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_1^2=\frac{15}{4}.\]
Resposta: \(\frac{15}{4}\)
3. Calcule \(\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx\)
A primitiva de \(\cos x\) é \(\sin x\).
Aplicamos os limites: \(\sin(\pi/2)-\sin(0)\).
Como \(\sin(\pi/2)=1\) e \(\sin(0)=0\), o resultado é \(1\).
\[\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\left[\sin x\right]_0^{\pi/2}=1.\]
Resposta: \(1\)
4. Calcule \(\int_0^3 x^2\,dx\)
A primitiva de \(x^2\) é \(F(x)=\frac{x^3}{3}\).
Aplicamos os limites: \(\frac{3^3}{3}-\frac{0^3}{3}\).
Logo, \(\frac{27}{3}=9\).
\[\int_0^3 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=9.\]
Resposta: \(9\)
5. Calcule \(\int_0^2 (4-x^2)\,dx\)
A primitiva de \(4-x^2\) é \(F(x)=4x-\frac{x^3}{3}\).
No limite superior: \(F(2)=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}\).
No limite inferior: \(F(0)=0\).
\[\int_0^2 (4-x^2)\,dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{16}{3}.\]
Resposta: \(\frac{16}{3}\)
Bloco 2 — Área e valor médio
Quando \(f(x)\geq 0\) no intervalo, a área sob a curva é
\[A=\int_a^b f(x)\,dx.\]
Para área entre curvas, usamos “função de cima menos função de baixo”.
1. Área sob \(f(x)=9-x^2\), no intervalo \([0,3]\)
No intervalo \([0,3]\), temos \(9-x^2\geq 0\). Portanto, a integral representa área geométrica.
Montamos: \(A=\int_0^3(9-x^2)\,dx\).
Uma primitiva é \(9x-\frac{x^3}{3}\).
Calculando: \(\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=27-9=18\).
\[A=\int_0^3(9-x^2)\,dx=18.\]
Área: \(18\) unidades quadradas
2. Área entre \(f(x)=4\) e \(g(x)=x^2\), em \([-2,2]\)
No intervalo \([-2,2]\), a função superior é \(f(x)=4\), pois \(x^2\leq 4\).
A área é: \(A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx\).
Uma primitiva é \(4x-\frac{x^3}{3}\).
Calculando: \(\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{32}{3}\).
\[A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}.\]
Área: \(\frac{32}{3}\) unidades quadradas
3. Valor médio de \(f(x)=2x+1\), no intervalo \([0,5]\)
O valor médio é dado por \(f_{\text{médio}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\).
Neste caso: \(f_{\text{médio}}=\frac{1}{5}\int_0^5(2x+1)\,dx\).
A primitiva é \(x^2+x\). Assim, \(\int_0^5(2x+1)\,dx=25+5=30\).
Dividindo pelo comprimento do intervalo: \(\frac{30}{5}=6\).
\[f_{\text{médio}}=\frac{1}{5}\cdot 30=6.\]
Valor médio: \(6\)
4. Diferença entre área líquida e área geométrica total
Área líquida: é o valor da integral definida com sinal. Regiões acima do eixo \(x\)
entram com sinal positivo; regiões abaixo do eixo \(x\) entram com sinal negativo.
\[\int_a^b f(x)\,dx=\text{área acima do eixo }x-\text{área abaixo do eixo }x.\]
Área geométrica total: é sempre positiva. Quando a função fica abaixo do eixo,
precisamos usar o valor absoluto ou separar o intervalo nos pontos onde a curva cruza o eixo.
\[A_{\text{geométrica}}=\int_a^b |f(x)|\,dx.\]
Bloco 3 — Áreas limitadas pela curva, pelo eixo x e por retas verticais
Regra de leitura: se a curva está acima do eixo \(x\), a área é a própria integral. Se está abaixo,
a integral será negativa, mas a área geométrica é positiva. Se houver mudança de sinal, dividimos
o intervalo nos pontos de interseção com o eixo \(x\).
1. Região limitada por \(y=(x+3)^2\), eixo \(x\), \(x=-3\) e \(x=0\)
A função \((x+3)^2\) é sempre não negativa.
A área é \(A=\int_{-3}^{0}(x+3)^2\,dx\).
Use \(u=x+3\). Quando \(x=-3\), \(u=0\); quando \(x=0\), \(u=3\).
Logo, \(A=\int_0^3 u^2\,du=\left[\frac{u^3}{3}\right]_0^3=9\).
\[A=\int_{-3}^{0}(x+3)^2\,dx=9.\]
Área: \(9\) unidades quadradas
2. Região limitada por \(y=12-x-x^2\), eixo \(x\), \(x=-3\) e \(x=2\)
As raízes de \(12-x-x^2\) são \(x=-4\) e \(x=3\).
Como o intervalo \([-3,2]\) está entre as raízes, a função é positiva nesse intervalo.
A área é \(A=\int_{-3}^{2}(12-x-x^2)\,dx\).
Uma primitiva é \(12x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\).
Calculando: \(\left[12x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{2}=\frac{305}{6}\).
\[A=\int_{-3}^{2}(12-x-x^2)\,dx=\frac{305}{6}.\]
Área: \(\frac{305}{6}\) unidades quadradas
3. Região limitada por \(y=10+x-x^2\), eixo \(x\), \(x=-2\) e \(x=3\)
As raízes são \(x=\frac{1-\sqrt{41}}{2}\) e \(x=\frac{1+\sqrt{41}}{2}\).
O intervalo \([-2,3]\) fica entre essas raízes; portanto, a curva está acima do eixo \(x\).
A área é \(A=\int_{-2}^{3}(10+x-x^2)\,dx\).
Uma primitiva é \(10x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\).
Calculando: \(\left[10x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{3}=\frac{245}{6}\).
\[A=\int_{-2}^{3}(10+x-x^2)\,dx=\frac{245}{6}.\]
Área: \(\frac{245}{6}\) unidades quadradas
4. Região limitada por \(y=x^3-4\), eixo \(x\), \(x=-2\) e \(x=-1\)
No intervalo \([-2,-1]\), temos \(x^3-4<0\). A curva está abaixo do eixo \(x\).
A integral definida será negativa, mas a área geométrica será positiva.
Calculamos \(\int_{-2}^{-1}(x^3-4)\,dx\).
Uma primitiva é \(\frac{x^4}{4}-4x\).
A integral vale \(-\frac{31}{4}\). Portanto, a área é \(\frac{31}{4}\).
\[\int_{-2}^{-1}(x^3-4)\,dx=-\frac{31}{4}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{31}{4}.\]
Área: \(\frac{31}{4}\) unidades quadradas
5. Região limitada por \(y=6x+x^2-x^3\), eixo \(x\), \(x=-1\) e \(x=3\)
Fatoramos: \(6x+x^2-x^3=x(6+x-x^2)=x(3-x)(x+2)\).
No intervalo \([-1,3]\), a função zera em \(x=0\) e \(x=3\).
Em \([-1,0]\), a função é negativa. Em \([0,3]\), é positiva.
Precisamos calcular a área geométrica: \(A=-\int_{-1}^{0}f(x)\,dx+\int_{0}^{3}f(x)\,dx\).
Uma primitiva é \(F(x)=3x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\).
\(\int_{-1}^{0}f(x)\,dx=-\frac{29}{12}\) e \(\int_0^3 f(x)\,dx=\frac{63}{4}\).
Logo, \(A=\frac{29}{12}+\frac{63}{4}=\frac{109}{6}\).
\[
A=-\int_{-1}^{0}(6x+x^2-x^3)\,dx+\int_{0}^{3}(6x+x^2-x^3)\,dx=\frac{109}{6}.
\]
Área: \(\frac{109}{6}\) unidades quadradas
Bloco 4 — Aplicações
Nas aplicações, a integral definida transforma uma taxa variável em uma quantidade acumulada.
\[
\text{Quantidade acumulada}=\int_a^b \text{taxa de variação}\,d\text{(variável)}.
\]
1. Se \(v(t)=4t+2\), determine o deslocamento entre \(t=0\) e \(t=3\)
O deslocamento é a integral da velocidade.
Montamos: \(s=\int_0^3(4t+2)\,dt\).
Uma primitiva é \(2t^2+2t\).
Aplicando os limites: \(2(3)^2+2(3)=18+6=24\).
\[s=\int_0^3(4t+2)\,dt=24.\]
Deslocamento: \(24\) unidades de comprimento
2. Se \(F(x)=10+x^2\), determine o trabalho realizado de \(x=0\) até \(x=2\)
O trabalho de uma força variável é dado por \(W=\int_a^b F(x)\,dx\).
Montamos: \(W=\int_0^2(10+x^2)\,dx\).
Uma primitiva é \(10x+\frac{x^3}{3}\).
Aplicando os limites: \(20+\frac{8}{3}=\frac{68}{3}\).
\[W=\int_0^2(10+x^2)\,dx=\frac{68}{3}.\]
Trabalho: \(\frac{68}{3}\) J
3. Se \(R'(x)=100-5x\), determine a receita acumulada ao vender de 0 a 12 unidades
A receita acumulada é a integral da receita marginal.
Montamos: \(R=\int_0^{12}(100-5x)\,dx\).
Uma primitiva é \(100x-\frac{5x^2}{2}\).
Aplicando os limites: \(100(12)-\frac{5(12)^2}{2}=1200-360=840\).
\[R=\int_0^{12}(100-5x)\,dx=840.\]
Receita acumulada: R$ 840,00
4. Se \(i(t)=3t^2+1\), calcule a carga entre \(t=0\) e \(t=2\)
A carga acumulada é a integral da corrente elétrica.
Montamos: \(q=\int_0^2(3t^2+1)\,dt\).
Uma primitiva é \(t^3+t\).
Aplicando os limites: \(2^3+2=10\).
\[q=\int_0^2(3t^2+1)\,dt=10.\]
Carga: \(10\) C
5. Se \(\dot{m}(t)=8+t\), determine a massa processada entre \(t=0\) e \(t=10\)
A massa processada é a integral da vazão mássica.
Montamos: \(m=\int_0^{10}(8+t)\,dt\).
Uma primitiva é \(8t+\frac{t^2}{2}\).
Aplicando os limites: \(8(10)+\frac{10^2}{2}=80+50=130\).
\[m=\int_0^{10}(8+t)\,dt=130.\]
Massa processada: \(130\) kg