Como usar esta página?
Esta página deve ser usada depois de uma tentativa real de resolução. O objetivo não é apenas conferir resultados, mas observar o caminho matemático: integrar, determinar constantes quando houver condição inicial e conferir derivando.
Dica de estudo: antes de abrir cada resposta, tente resolver no caderno. Depois, compare sua solução com a resposta comentada.
Bloco 1 — Leitura, primeiras integrais e propriedades
1. Explique o significado de \(\int f(x)\,dx\)
Resposta: representa a integral indefinida de \(f(x)\) em relação a \(x\). Procuramos uma família de funções \(F(x)+C\) cuja derivada seja \(f(x)\).
\[\int f(x)\,dx=F(x)+C \quad \text{quando} \quad F'(x)=f(x).\]
2. \(\int 3\,dx\)
\[\int 3\,dx=3x+C\]
Conferência: \(\frac{d}{dx}(3x+C)=3\).
3. \(\int 7\,dx\)
\[\int 7\,dx=7x+C\]
Conferência: \(\frac{d}{dx}(7x+C)=7\).
4. \(\int 2x\,dx\)
\[\int 2x\,dx=x^2+C\]
Conferência: \(\frac{d}{dx}(x^2+C)=2x\).
5. \(\int 3x^2\,dx\)
\[\int 3x^2\,dx=x^3+C\]
Conferência: \(\frac{d}{dx}(x^3+C)=3x^2\).
6. \(\int x^4\,dx\)
\[\int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}+C\]
7. \(\int (2x+5)\,dx\)
\[\int (2x+5)\,dx=x^2+5x+C\]
8. \(\int (3x^2-4x)\,dx\)
\[\int (3x^2-4x)\,dx=x^3-2x^2+C\]
9. \(\int (5x^4+2x^3-x+7)\,dx\)
\[\int (5x^4+2x^3-x+7)\,dx=x^5+\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+7x+C\]
10. Conferência derivando o exercício anterior
\[\frac{d}{dx}\left(x^5+\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+7x+C\right)=5x^4+2x^3-x+7.\]
A derivada recupera exatamente o integrando. Portanto, a resposta do exercício 9 está correta.
Bloco 2 — Problemas de valor inicial
1. \(F'(x)=2x\) e \(F(1)=5\)
\[F(x)=\int 2x\,dx=x^2+C.\]\[F(1)=5 \Rightarrow 1^2+C=5 \Rightarrow C=4.\]\[\boxed{F(x)=x^2+4}\]
2. \(F'(x)=3x^2\) e \(F(0)=4\)
\[F(x)=\int 3x^2\,dx=x^3+C.\]\[F(0)=4 \Rightarrow 0^3+C=4 \Rightarrow C=4.\]\[\boxed{F(x)=x^3+4}\]
3. \(f'(x)=4x^3-2x\) e \(f(1)=3\)
\[f(x)=\int (4x^3-2x)\,dx=x^4-x^2+C.\]\[f(1)=3 \Rightarrow 1^4-1^2+C=3 \Rightarrow C=3.\]\[\boxed{f(x)=x^4-x^2+3}\]
4. \(s'(t)=10t+2\) e \(s(0)=6\)
\[s(t)=\int (10t+2)\,dt=5t^2+2t+C.\]\[s(0)=6 \Rightarrow C=6.\]\[\boxed{s(t)=5t^2+2t+6}\]
5. \(C'(x)=6x+20\) e \(C(0)=100\)
\[C(x)=\int (6x+20)\,dx=3x^2+20x+K.\]\[C(0)=100 \Rightarrow K=100.\]\[\boxed{C(x)=3x^2+20x+100}\]
Aqui, \(C(x)\) representa a função custo, enquanto \(K\) foi usado como constante de integração para evitar confusão.
6. \(P'(t)=50t+100\) e \(P(0)=1000\)
\[P(t)=\int (50t+100)\,dt=25t^2+100t+C.\]\[P(0)=1000 \Rightarrow C=1000.\]\[\boxed{P(t)=25t^2+100t+1000}\]
Bloco 3 — Antidiferenciação pela regra da cadeia
Ideia-guia: \[\int g'(x)[g(x)]^n\,dx=\frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1}+C\] e \[\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\ln|g(x)|+C.\]
1. \(\int 2x(x^2+1)^3\,dx\)
\[g(x)=x^2+1,\quad g'(x)=2x.\]\[\boxed{\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C}\]
2. \(\int 3x^2(x^3+5)^4\,dx\)
\[g(x)=x^3+5,\quad g'(x)=3x^2.\]\[\boxed{\int 3x^2(x^3+5)^4\,dx=\frac{(x^3+5)^5}{5}+C}\]
3. \(\int 4(4x+1)^5\,dx\)
\[g(x)=4x+1,\quad g'(x)=4.\]\[\boxed{\int 4(4x+1)^5\,dx=\frac{(4x+1)^6}{6}+C}\]
4. \(\int (2x+3)^4\,dx\)
\[g(x)=2x+3,\quad g'(x)=2.\]\[\boxed{\int (2x+3)^4\,dx=\frac{(2x+3)^5}{10}+C}\]
5. \(\int 6x(3x^2+2)^7\,dx\)
\[g(x)=3x^2+2,\quad g'(x)=6x.\]\[\boxed{\int 6x(3x^2+2)^7\,dx=\frac{(3x^2+2)^8}{8}+C}\]
6. \(\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx\)
\[g(x)=x^2+1,\quad g'(x)=2x.\]\[\boxed{\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C}\]
Como \(x^2+1>0\) para todo \(x\), o módulo não é necessário neste caso.
7. \(\int \frac{3x^2}{x^3+4}\,dx\)
\[g(x)=x^3+4,\quad g'(x)=3x^2.\]\[\boxed{\int \frac{3x^2}{x^3+4}\,dx=\ln|x^3+4|+C}\]
8. \(\int \frac{1}{3x+7}\,dx\)
\[g(x)=3x+7,\quad g'(x)=3.\]\[\boxed{\int \frac{1}{3x+7}\,dx=\frac{1}{3}\ln|3x+7|+C}\]
Bloco 4 — Funções racionais simples
1. \(\int \frac{1}{x^2}\,dx\)
\[\frac{1}{x^2}=x^{-2}\]\[\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=\boxed{-\frac{1}{x}+C}\]
2. \(\int \frac{3}{x^4}\,dx\)
\[\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\]\[\int 3x^{-4}\,dx=3\cdot \frac{x^{-3}}{-3}+C=\boxed{-\frac{1}{x^3}+C}\]
3. \(\int \frac{1}{x}\,dx\)
\[\boxed{\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C}\]
Este é o caso especial da regra da potência: \(n=-1\) não pode ser resolvido por \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\).
4. \(\int \frac{1}{x+2}\,dx\)
\[\boxed{\int \frac{1}{x+2}\,dx=\ln|x+2|+C}\]
5. \(\int \frac{2}{3x-1}\,dx\)
\[\int \frac{2}{3x-1}\,dx=2\cdot \frac{1}{3}\ln|3x-1|+C\]\[\boxed{\frac{2}{3}\ln|3x-1|+C}\]
6. \(\int \frac{x^2-1}{x-1}\,dx\)
\[x^2-1=(x-1)(x+1)\]\[\frac{x^2-1}{x-1}=x+1,\quad x\neq 1.\]\[\boxed{\int \frac{x^2-1}{x-1}\,dx=\frac{x^2}{2}+x+C}\]
7. \(\int \frac{x^2+3x+2}{x+1}\,dx\)
\[x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\]\[\frac{x^2+3x+2}{x+1}=x+2,\quad x\neq -1.\]\[\boxed{\int \frac{x^2+3x+2}{x+1}\,dx=\frac{x^2}{2}+2x+C}\]
8. \(\int \frac{x^2+1}{x+1}\,dx\)
\[\frac{x^2+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}.\]\[\int \frac{x^2+1}{x+1}\,dx=\int \left(x-1+\frac{2}{x+1}\right)\,dx\]\[\boxed{\frac{x^2}{2}-x+2\ln|x+1|+C}\]