Como usar este espaço digital?
Esta página deve ser usada depois de uma tentativa real de resolução. O objetivo não é apenas conferir resultados, mas compreender por que cada forma algébrica sugere uma identidade trigonométrica e como a resposta retorna corretamente à variável original.
Dica de estudo: antes de abrir cada resposta, tente resolver no caderno. Depois,
compare sua solução com a resposta comentada. Nas integrais, verifique se toda a expressão foi
convertida para a nova variável antes de integrar.
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Use conferência rápida para abrir as respostas completas ou passo a passo para treinar a memória da resolução, revelando uma etapa por vez.
\[
\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin\theta,\qquad
\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan\theta,\qquad
\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec\theta.
\]
Bloco 1 — Reconhecimento da forma
O primeiro passo é reconhecer a identidade que fará a raiz simplificar.
1. Para \(\sqrt{9-x^2}\), identifique \(a\) e a substituição adequada
Comparamos \(9-x^2\) com \(a^2-x^2\).
Como \(a^2=9\), temos \(a=3\).
A identidade adequada é \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\).
2. Para \(\sqrt{16+x^2}\), identifique \(a\) e a substituição adequada
Comparamos \(16+x^2\) com \(a^2+x^2\).
Como \(a^2=16\), temos \(a=4\).
Usamos \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\).
3. Para \(\sqrt{x^2-25}\), identifique \(a\) e a substituição adequada
Comparamos \(x^2-25\) com \(x^2-a^2\).
Como \(a^2=25\), temos \(a=5\).
Usamos \(\sec^2\theta-1=\tan^2\theta\).
4. Por que \(\sqrt{a^2-x^2}\) conversa com seno?
Escolhemos \(x=a\sin\theta\).
Então \(a^2-x^2=a^2(1-\sin^2\theta)\).
Pela identidade pitagórica, isso se torna \(a^2\cos^2\theta\).
\[\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta\]
5. Por que \(\sqrt{a^2+x^2}\) conversa com tangente?
Escolhemos \(x=a\tan\theta\).
Então \(a^2+x^2=a^2(1+\tan^2\theta)\).
Pela identidade pitagórica, isso se torna \(a^2\sec^2\theta\).
\[\sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta\]
Bloco 2 — Substituição e simplificação
Nesta etapa, simplificamos a raiz e calculamos corretamente o diferencial.
1. Use \(x=3\sin\theta\) para simplificar \(\sqrt{9-x^2}\)
Substituímos: \(9-x^2=9-9\sin^2\theta\).
Colocamos \(9\) em evidência: \(9(1-\sin^2\theta)=9\cos^2\theta\).
No intervalo usual da substituição, \(\cos\theta\geq0\).
2. Use \(x=4\tan\theta\) para simplificar \(\sqrt{16+x^2}\)
Substituímos: \(16+x^2=16+16\tan^2\theta\).
Usamos \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\).
3. Use \(x=5\sec\theta\) para simplificar \(\sqrt{x^2-25}\)
Substituímos: \(x^2-25=25\sec^2\theta-25\).
Usamos \(\sec^2\theta-1=\tan^2\theta\).
4. Calcule \(dx\) para \(x=2\sin\theta\)
Derivamos os dois lados em relação a \(\theta\).
5. Calcule \(dx\) para \(x=6\tan\theta\)
Como \(\frac{d}{d\theta}\tan\theta=\sec^2\theta\), derivamos a substituição.
6. Calcule \(dx\) para \(x=7\sec\theta\)
Como \(\frac{d}{d\theta}\sec\theta=\sec\theta\tan\theta\), derivamos a substituição.
Bloco 3 — Integrais
Algumas questões pedem primeiro uma preparação algébrica ou uma substituição simples.
Depois disso, a forma trigonométrica aparece com clareza.
1. \(\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}\)
Use \(x=3\sin\theta\), de modo que \(dx=3\cos\theta\,d\theta\).
A raiz simplifica para \(\sqrt{9-x^2}=3\cos\theta\).
A integral se torna \(\int d\theta=\theta+C\).
Como \(\sin\theta=x/3\), temos \(\theta=\arcsin(x/3)\).
\[\int\frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)+C\]
2. \(\displaystyle \int\frac{dx}{x^2+4}\)
Use \(x=2\tan\theta\), então \(dx=2\sec^2\theta\,d\theta\).
O denominador fica \(x^2+4=4\sec^2\theta\).
Logo, a integral é \(\frac12\int d\theta=\frac\theta2+C\).
Como \(\tan\theta=x/2\), voltamos para \(x\).
\[\int\frac{dx}{x^2+4}=\frac12\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C\]
3. \(\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}\)
Use \(x=4\tan\theta\). Assim, \(dx=4\sec^2\theta\,d\theta\).
A raiz fica \(\sqrt{16+x^2}=4\sec\theta\).
Obtemos \(\int\sec\theta\,d\theta=\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C\).
No triângulo auxiliar, \(\tan\theta=x/4\) e \(\sec\theta=\sqrt{x^2+16}/4\). A constante \(\ln4\) é absorvida em \(C\).
\[\int\frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2+16}\right|+C\]
4. \(\displaystyle \int\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}\,dx\)
Use \(x=5\sin\theta\), \(dx=5\cos\theta\,d\theta\) e \(\sqrt{25-x^2}=5\cos\theta\).
A integral se reduz a \(25\int\sin^2\theta\,d\theta\).
Use \(\sin^2\theta=(1-\cos2\theta)/2\): \(\frac{25}{2}\theta-\frac{25}{4}\sin2\theta+C\).
Como \(\theta=\arcsin(x/5)\) e \(\sin2\theta=2x\sqrt{25-x^2}/25\), retornamos para \(x\).
\[\int\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}\,dx=\frac{25}{2}\arcsin\left(\frac{x}{5}\right)-\frac{x}{2}\sqrt{25-x^2}+C\]
5. \(\displaystyle \int\sqrt{9-x^2}\,dx\)
Use \(x=3\sin\theta\), \(dx=3\cos\theta\,d\theta\) e \(\sqrt{9-x^2}=3\cos\theta\).
A integral fica \(9\int\cos^2\theta\,d\theta\).
Use \(\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2\).
Com \(\theta=\arcsin(x/3)\) e o triângulo auxiliar, retornamos para \(x\).
\[\int\sqrt{9-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)+C\]
6. \(\displaystyle \int\frac{dt}{2t^2+3t+5}\)
Complete o quadrado: \(2t^2+3t+5=2\left[\left(t+\frac34\right)^2+\frac{31}{16}\right]\).
Faça \(u=t+\frac34\). A integral assume a forma \(\frac12\int\frac{du}{u^2+(\sqrt{31}/4)^2}\).
Use \(u=(\sqrt{31}/4)\tan\theta\), ou a fórmula de \(\int du/(u^2+a^2)\).
Retorne para \(t\).
\[\int\frac{dt}{2t^2+3t+5}=\frac{2}{\sqrt{31}}\arctan\left(\frac{4t+3}{\sqrt{31}}\right)+C\]
7. \(\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{7+5x-2x^2}}\)
Complete o quadrado: \(7+5x-2x^2=\frac{81-(4x-5)^2}{8}\).
Faça \(u=(4x-5)/9\), então \(dx=(9/4)\,du\).
A integral se torna \(\frac{1}{\sqrt2}\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\).
Use \(u=\sin\theta\), ou reconheça diretamente a derivada do arco seno.
\[\int\frac{dx}{\sqrt{7+5x-2x^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\arcsin\left(\frac{4x-5}{9}\right)+C\]
8. \(\displaystyle \int\frac{3x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx\)
Antes da trigonometria, faça \(u=x^2\), de modo que \(du=2x\,dx\).
A integral fica \(\frac32\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}\).
Use \(u=\sin\theta\), obtendo \(\frac32\theta+C\).
Como \(\theta=\arcsin u\) e \(u=x^2\), retornamos para \(x\).
\[\int\frac{3x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx=\frac32\arcsin(x^2)+C\]
9. \(\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{e^{2x}-8}}\)
Faça primeiro \(u=e^x\). Então \(du=u\,dx\) e \(dx=du/u\).
A integral vira \(\int\frac{du}{u\sqrt{u^2-8}}\).
Use \(u=2\sqrt2\sec\theta\). O radical fica \(2\sqrt2\tan\theta\) e a integral se reduz a \(\frac{1}{2\sqrt2}\int d\theta\).
Como \(\sec\theta=e^x/(2\sqrt2)\), temos \(\cos\theta=2\sqrt2/e^x\).
\[\int\frac{dx}{\sqrt{e^{2x}-8}}=\frac{1}{2\sqrt2}\arccos\left(\frac{2\sqrt2}{e^x}\right)+C\]
Domínio real: \(x>\frac12\ln 8\)