① Desenhe a região
Identifique as curvas, os pontos de interseção e o eixo em torno do qual a região será girada.
📐 Geometria + Cálculo Integral
Da região plana ao sólido tridimensional
Ao girar uma região plana em torno de uma reta, cada pequena faixa produz um elemento de volume. A integral definida soma esses elementos e determina o volume total do sólido.
Ideia geradora:
\[
V=\int_a^b dV
\]
1. Da área plana ao volume
A integração soma volumes infinitesimais. A escolha do elemento \(dV\) depende da direção da fatia e do eixo de rotação.
② Escolha a fatia
Fatia perpendicular ao eixo produz discos ou arruelas. Fatia paralela ao eixo produz cascas cilíndricas.
③ Integre
Escreva \(dV\), determine os limites e calcule \(V=\int dV\). A resposta deve estar em unidades cúbicas.
Ideia central:
o volume total nasce da soma de muitas fatias muito finas. Quanto menor a espessura da fatia, melhor a aproximação;
no limite, obtemos a integral definida.
2. Três modelos de fatia
Compare visualmente o elemento infinitesimal antes de montar a integral.
🥏
Discos
Usado quando a região toca o eixo e a rotação não deixa um vazio central.
\[
dV=\pi R(x)^2\,dx,
\qquad
V=\pi\int_a^b R(x)^2\,dx
\]
🔩
Arruelas
Usado quando cada corte transversal possui raio externo \(R\) e raio interno \(r\).
\[
dV=\pi\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx
\]
🧻
Cascas cilíndricas
Usado quando a fatia é paralela ao eixo de rotação.
\[
dV=2\pi(\text{raio})(\text{altura})\,dx
\]
3. Laboratório virtual
Altere as funções, mova a fatia e gire o modelo 3D. O volume é calculado numericamente pela Regra de Simpson.
🧪 Construtor de Sólidos de Revolução
Use * para multiplicação e ^ para potência. Exemplos: sqrt(x), 2*x-x^2.
Integral montada
\[
V=\pi\int_0^4\left(\sqrt{x}\right)^2dx
\]
Discosmétodo
\(dx\)elemento
\(y=0\)eixo
Volume aproximado
25,132741
aprox. \(8\pi\) u.v.
Passo 1 — Identificar raio e altura
Passo 2 — Construir o elemento infinitesimal
Passo 3 — Integrar no intervalo
4. Exemplos comentados
As expressões aparecem em forma exata; a aproximação decimal vem apenas ao final.
Exemplo 1 — Disco
Gire a região sob \(y=\sqrt{x}\), \(0\le x\le4\), em torno do eixo \(x\).
\[ V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx =\pi\int_0^4x\,dx =\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 =8\pi. \]\(V=8\pi\approx25{,}133\) unidades cúbicas.
Exemplo 2 — Arruela
Região entre \(y=x+3\) e \(y=x^2+1\), de \(x=-1\) a \(x=2\), girada em torno do eixo \(x\).
\[ \begin{aligned} V&=\pi\int_{-1}^{2}\left[(x+3)^2-(x^2+1)^2\right]dx\\ &=\pi\int_{-1}^{2}\left(-x^4-x^2+6x+8\right)dx\\ &=\frac{117\pi}{5}. \end{aligned} \]\(V=\dfrac{117\pi}{5}\approx73{,}513\) unidades cúbicas.
Exemplo 3 — Discos em torno de \(y\)
Para \(y=x^2\), escrevemos \(x=\sqrt{y}\). Girando \(0\le y\le4\) em torno do eixo \(y\):
\[ V=\pi\int_0^4(\sqrt{y})^2\,dy =\pi\int_0^4y\,dy =8\pi. \]O mesmo sólido pode ser descrito usando a variável \(y\).
Exemplo 4 — Cascas
Gire \(y=2x-x^2\), \(0\le x\le2\), em torno do eixo \(y\).
\[ \begin{aligned} V&=2\pi\int_0^2x(2x-x^2)\,dx\\ &=2\pi\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^2 =\frac{8\pi}{3}. \end{aligned} \]\(V=\dfrac{8\pi}{3}\approx8{,}378\) unidades cúbicas.
Exemplo 5 — Eixo deslocado
Gire \(y=x^2\), \(0\le x\le1\), em torno de \(x=2\). O raio da casca é \(2-x\).
\[ V=2\pi\int_0^1(2-x)x^2\,dx =\frac{5\pi}{6}. \]A distância ao eixo precisa aparecer no raio.
Alerta de interpretação
Antes de escolher \(R\) e \(r\), verifique se a região cruza o eixo de rotação.
\[ R=\max\{|f-h|,|g-h|\}, \qquad r= \begin{cases} 0,& \text{se a região cruza } y=h,\\ \min\{|f-h|,|g-h|\},& \text{caso contrário.} \end{cases} \]Essa verificação evita “furos” inexistentes ou raios trocados.
5. Qual método escolher?
Use o assistente abaixo para comparar a orientação da fatia com o eixo de rotação.
Assistente de decisão
1. A fatia escolhida é:
2. A região toca ou cruza o eixo?
3. Inverter a função seria trabalhoso?
Recomendação
Use discos: a fatia é perpendicular e a região toca o eixo.
Estratégia: quando os dois métodos funcionarem, prefira aquele que produz a integral mais simples e evita dividir a região em muitos intervalos.
6. Tabela rápida de fórmulas
As distâncias ao eixo devem ser usadas como raios, inclusive quando o eixo está deslocado.
| Situação | Método | Elemento de volume | Integral |
|---|---|---|---|
| \(y=f(x)\), giro em torno de \(y=h\), sem furo | Discos | \(dV=\pi|f(x)-h|^2dx\) | \(V=\pi\int_a^b|f(x)-h|^2dx\) |
| Região entre duas curvas, giro em torno de \(y=h\) | Arruelas | \(dV=\pi(R^2-r^2)dx\) | \(V=\pi\int_a^b(R^2-r^2)dx\) |
| \(x=F(y)\), giro em torno de \(x=k\) | Discos/arruelas | \(dV=\pi(R^2-r^2)dy\) | \(V=\pi\int_c^d(R^2-r^2)dy\) |
| Região entre \(y=f(x)\) e \(y=g(x)\), giro em torno de \(x=k\) | Cascas | \(dV=2\pi|x-k||f-g|dx\) | \(V=2\pi\int_a^b|x-k||f-g|dx\) |
| Região entre \(x=F(y)\) e \(x=G(y)\), giro em torno de \(y=h\) | Cascas | \(dV=2\pi|y-h||F-G|dy\) | \(V=2\pi\int_c^d|y-h||F-G|dy\) |
7. Checklist de resolução
📐 1. Região
Desenhe e marque as interseções.
Desenhe e marque as interseções.
🧭 2. Eixo
Identifique \(x=k\) ou \(y=h\).
Identifique \(x=k\) ou \(y=h\).
🔪 3. Fatia
Escolha perpendicular ou paralela.
Escolha perpendicular ou paralela.
📏 4. Dimensões
Defina raio, altura e espessura.
Defina raio, altura e espessura.
∫ 5. Integral
Monte \(dV\) e os limites.
Monte \(dV\) e os limites.
✅ 6. Validação
Confira sinal, unidade cúbica e plausibilidade.
Confira sinal, unidade cúbica e plausibilidade.