Integração por Partes | Professor CHAGAS, JC

🧮 Técnica de integração

Quando a integral vem da regra do produto

A integração por partes é uma das técnicas mais importantes do Cálculo Integral. Ela aparece quando a integral envolve um produto de funções e pode ser entendida como a regra do produto ao contrário.

Fórmula central \[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \]

📌 Origem da fórmula 🧠 Escolha de \(u\) e \(dv\) 🪜 Passo a passo 🔁 Partes repetidas ✅ Exercícios

1. De onde nasce a fórmula?

A regra do produto para derivadas afirma que, se \(u=u(x)\) e \(v=v(x)\), então:

\[ \frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx} \]

Em notação diferencial, podemos escrever:

\[ d(uv)=u\,dv+v\,du \]

Isolando o termo \(u\,dv\), obtemos:

\[ u\,dv=d(uv)-v\,du \]

Agora integramos os dois lados:

\[ \int u\,dv=\int d(uv)-\int v\,du \]

Como \(\int d(uv)=uv\), chegamos à fórmula: \[ \boxed{\int u\,dv=uv-\int v\,du} \]

2. Roteiro prático para aplicar integração por partes

Separe a integral na forma \(\int u\,dv\).
Escolha uma parte para ser \(u\) e outra para ser \(dv\).

Derive \(u\).
Calcule \(du\). A escolha é boa quando \(du\) fica mais simples.

Integre \(dv\).
Calcule \(v=\int dv\). Essa integração precisa ser conhecida ou simples.

Aplique a fórmula.
Use \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\).

Resolva a nova integral.
Finalize e acrescente a constante \(C\).

Confira por derivação.
Derive o resultado para verificar se retorna ao integrando original.

3. Como escolher \(u\)? A dica LIATE

Uma orientação bastante usada é a regra mnemônica LIATE. Ela sugere uma prioridade para escolher \(u\):

Letra	Tipo de função	Exemplo
L	Logarítmica	\(\ln x\)
I	Inversa trigonométrica	\(\arctan x\)
A	Algébrica	\(x, x^2, \sqrt{x}\)
T	Trigonométrica	\(\sin x, \cos x\)
E	Exponencial	\(e^x, 2^x\)

LIATE não é uma lei absoluta, mas ajuda muito nos primeiros estudos. Em geral, logaritmos e funções inversas trigonométricas costumam ser bons candidatos para \(u\).

4. Quando usar essa técnica?

Ela costuma aparecer em integrais com produtos como:

polinômio multiplicando exponencial: \(\int x e^x\,dx\);
polinômio multiplicando trigonométrica: \(\int x\cos x\,dx\);
logaritmo: \(\int \ln x\,dx\);
inversa trigonométrica: \(\int \arctan x\,dx\);
produto que exige repetição: \(\int x^2e^x\,dx\);
casos em que a integral reaparece: \(\int e^x\cos x\,dx\).

Cuidado: nem todo produto deve ser resolvido por partes. Antes, verifique se substituição simples, identidade trigonométrica ou regra direta não resolvem melhor.

5. Exemplos resolvidos com abertura pausada

Use os botões para revelar a solução em etapas. Esse formato ajuda o estudante a acompanhar o raciocínio sem receber tudo de uma vez.

Exemplo 1 — \(\int x e^x\,dx\) Produto de função algébrica com exponencial

Escolha: \(u=x\) e \(dv=e^x\,dx\).

Então: \(du=dx\) e \(v=e^x\).

Aplicando a fórmula: \[\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx.\]

Logo: \[\int x e^x\,dx = x e^x - e^x + C.\]

Resposta final: \[\boxed{\int x e^x\,dx=e^x(x-1)+C}\]

Exemplo 2 — \(\int x\cos x\,dx\) Produto de função algébrica com trigonométrica

Escolha: \(u=x\) e \(dv=\cos x\,dx\).

Então: \(du=dx\) e \(v=\sin x\).

Aplicando: \[\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\,dx.\]

Como \(\int \sin x\,dx=-\cos x\), temos: \[x\sin x-(-\cos x)+C.\]

Resposta final: \[\boxed{\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C}\]

Exemplo 3 — \(\int \ln x\,dx\) Quando parece faltar o produto

Escreva a integral como produto: \[\int \ln x\,dx=\int \ln x\cdot 1\,dx.\]

Escolha: \(u=\ln x\) e \(dv=dx\).

Então: \(du=\frac{1}{x}\,dx\) e \(v=x\).

Aplicando: \[\int \ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.\]

Logo: \[\int \ln x\,dx=x\ln x-\int 1\,dx=x\ln x-x+C.\]

Resposta final: \[\boxed{\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C}\]

Exemplo 4 — \(\int x^2e^x\,dx\) Integração por partes repetida

Primeira escolha: \(u=x^2\), \(dv=e^x\,dx\). Assim, \(du=2x\,dx\) e \(v=e^x\).

Aplicando: \[\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int 2xe^x\,dx.\]

Agora resolvemos \(\int 2xe^x\,dx\). O fator 2 fica fora: \[2\int xe^x\,dx.\]

Pelo Exemplo 1, \(\int xe^x\,dx=e^x(x-1)+C\).

Logo: \[\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2e^x(x-1)+C.\]

Resposta final: \[\boxed{\int x^2e^x\,dx=e^x(x^2-2x+2)+C}\]

Exemplo 5 — \(\int e^x\cos x\,dx\) Quando a integral reaparece

Chame a integral de \(I\): \[I=\int e^x\cos x\,dx.\]

Escolha: \(u=\cos x\), \(dv=e^x\,dx\). Então \(du=-\sin x\,dx\) e \(v=e^x\).

Aplicando: \[I=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx.\]

Agora aplique partes em \(\int e^x\sin x\,dx\): escolha \(u=\sin x\), \(dv=e^x\,dx\). Então \(du=\cos x\,dx\), \(v=e^x\).

Temos: \[\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx=e^x\sin x-I.\]

Substituindo: \[I=e^x\cos x+e^x\sin x-I.\]

Logo: \[2I=e^x(\sin x+\cos x).\]

Resposta final: \[\boxed{I=\int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C}\]

6. Integração por partes em integrais definidas

Quando a integral possui limites de integração, usamos a versão definida da fórmula:

\[ \int_a^b u\,dv = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b v\,du \]

Exemplo — \(\int_0^1 x e^x\,dx\)

Use \(u=x\), \(dv=e^x\,dx\), \(du=dx\), \(v=e^x\).

\[\int_0^1 x e^x\,dx=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx.\]

\[\left[xe^x\right]_0^1=e-0=e.\]

\[\int_0^1 e^x\,dx=\left[e^x\right]_0^1=e-1.\]

Logo: \[\int_0^1 xe^x\,dx=e-(e-1)=1.\]

Resposta final: \[\boxed{\int_0^1 xe^x\,dx=1}\]

7. Erros comuns que merecem atenção

Erro 1 — escolher \(u\) sem pensar em \(du\)

A escolha de \(u\) deve simplificar a expressão quando derivamos. Se \(du\) complica a integral, provavelmente a escolha não foi boa.

Erro 2 — esquecer o sinal de menos

A fórmula é \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\). O sinal negativo é essencial.

Erro 3 — esquecer a constante \(C\)

Em integrais indefinidas, sempre finalize com \(+C\).

Erro 4 — tentar aplicar partes em tudo

Integração por partes é poderosa, mas não substitui técnicas como substituição, identidades trigonométricas ou integração direta.

8. Onde essa técnica aparece nas aplicações?

A integração por partes aparece em diversas situações das ciências exatas, principalmente quando há produto entre uma grandeza que cresce ou varia lentamente e outra que representa oscilação, decaimento ou acumulação.

⚙️ EngenhariaTrabalho, energia, sinais e respostas de sistemas envolvendo produtos entre tempo e funções exponenciais ou trigonométricas.

📡 FísicaIntegrais envolvendo movimento, ondas, amortecimento e combinações entre crescimento e oscilação.

📊 EstatísticaCálculo de valores esperados, momentos e integrais com densidades contínuas.

💰 EconomiaModelos contínuos de fluxo, valor presente e acumulação quando há produto entre tempo e taxa.

🧪 QuímicaModelos de concentração, decaimento e resposta acumulada em processos contínuos.

🧬 BiologiaModelos de crescimento, resposta populacional e funções de acumulação no tempo.

9. Trilha de exercícios

Resolva com calma. Em cada item, identifique \(u\), \(dv\), \(du\), \(v\), aplique a fórmula e confira por derivação quando possível.

Básico
1. \(\int x e^x\,dx\)
Básico
2. \(\int x\sin x\,dx\)
Básico
3. \(\int x\cos x\,dx\)
Básico
4. \(\int \ln x\,dx\)
Básico
5. \(\int x\ln x\,dx\)
Intermediário
6. \(\int x^2e^x\,dx\)
Intermediário
7. \(\int x^2\sin x\,dx\)
Intermediário
8. \(\int x^2\cos x\,dx\)
Intermediário
9. \(\int x\arctan x\,dx\)
Intermediário
10. \(\int e^x\sin x\,dx\)
Avançando
11. \(\int e^x\cos x\,dx\)
Avançando
12. \(\int_0^1 xe^x\,dx\)
Avançando
13. \(\int_0^{\pi} x\sin x\,dx\)
Aplicação
14. Em um sistema, a resposta acumulada é dada por \(\int_0^2 t e^{-t}\,dt\). Calcule o valor acumulado.
Aplicação
15. Uma grandeza oscilatória ponderada pelo tempo é modelada por \(\int_0^{\pi/2} t\cos t\,dt\). Determine o valor.

Fechamento da etapa

Ao dominar a integração por partes, o estudante passa a reconhecer integrais que nascem da regra do produto. Essa técnica amplia a capacidade de resolver problemas aplicados e prepara o caminho para uma etapa ainda mais madura: as integrais impróprias e suas aplicações nas ciências exatas.

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