Como usar este espaço digital?
Esta página deve ser usada depois de uma tentativa real de resolução. O objetivo não é apenas conferir resultados, mas observar a estratégia: escolher \(u\), escolher \(dv\), derivar \(u\), integrar \(dv\), aplicar a fórmula e simplificar a nova integral.
Dica de estudo: antes de abrir cada resposta, escreva primeiro a fórmula
\(\int u\,dv=uv-\int v\,du\). Depois tente preencher uma pequena tabela com \(u\), \(dv\), \(du\) e \(v\).
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\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du,
\qquad
\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du.
\]
Bloco 1 — Exercícios básicos
Nesta primeira etapa, o foco é reconhecer o produto adequado e aplicar a fórmula uma vez.
Básico 1. \(\displaystyle \int x e^x\,dx\)
Identificamos um produto entre uma função algébrica, \(x\), e uma exponencial, \(e^x\).
Pela orientação LIATE, escolhemos \(u=x\) e \(dv=e^x\,dx\).
Então \(du=dx\) e \(v=\int e^x\,dx=e^x\).
Aplicando a fórmula: \[\int x e^x\,dx=x e^x-\int e^x\,dx.\]
Como \(\int e^x\,dx=e^x\), obtemos \(x e^x-e^x+C\).
Colocando \(e^x\) em evidência: \(e^x(x-1)+C\).
\[\int x e^x\,dx=e^x(x-1)+C\]
✅ Resultado conferido
Básico 2. \(\displaystyle \int x\sin x\,dx\)
Temos produto entre \(x\) e \(\sin x\).
Escolhemos \(u=x\) e \(dv=\sin x\,dx\).
Logo, \(du=dx\) e \(v=\int\sin x\,dx=-\cos x\).
Aplicando partes: \[\int x\sin x\,dx=-x\cos x-\int(-\cos x)\,dx.\]
Isso equivale a \(-x\cos x+\int\cos x\,dx\).
Portanto, a resposta é \(-x\cos x+\sin x+C\).
\[\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C\]
✅ Resultado conferido
Básico 3. \(\displaystyle \int x\cos x\,dx\)
Temos produto entre função algébrica e função trigonométrica.
Escolhemos \(u=x\) e \(dv=\cos x\,dx\).
Assim, \(du=dx\) e \(v=\sin x\).
Pela fórmula: \[\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx.\]
Como \(\int\sin x\,dx=-\cos x\), temos \(x\sin x-(-\cos x)+C\).
Logo, o resultado é \(x\sin x+\cos x+C\).
\[\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C\]
✅ Resultado conferido
Básico 4. \(\displaystyle \int \ln x\,dx\)
Mesmo parecendo não haver produto, escrevemos \(\ln x\) como \(\ln x\cdot1\).
Escolhemos \(u=\ln x\) e \(dv=dx\).
Então \(du=\frac{1}{x}\,dx\) e \(v=x\).
Aplicando partes: \[\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.\]
A nova integral é \(\int1\,dx=x\).
Portanto, \(\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C\), para \(x>0\).
\[\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C\]
✅ Resultado conferido
Básico 5. \(\displaystyle \int x\ln x\,dx\)
Pela prioridade LIATE, o logaritmo deve ser escolhido como \(u\).
Escolhemos \(u=\ln x\) e \(dv=x\,dx\).
Assim, \(du=\frac{1}{x}\,dx\) e \(v=\frac{x^2}{2}\).
Aplicando partes: \[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.\]
Simplificando a nova integral: \(\int\frac{x}{2}\,dx=\frac{x^2}{4}\).
Logo, \(\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C\).
\[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C\]
✅ Resultado conferido
Bloco 2 — Exercícios intermediários
Agora surgem integrais que exigem repetição, organização algébrica e atenção aos sinais.
Intermediário 6. \(\displaystyle \int x^2e^x\,dx\)
Aqui a integração por partes será aplicada e, em seguida, usaremos novamente um resultado do tipo \(\int xe^x\,dx\).
Escolhemos \(u=x^2\) e \(dv=e^x\,dx\).
Então \(du=2x\,dx\) e \(v=e^x\).
Aplicando partes: \[\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int2xe^x\,dx.\]
Como \(\int xe^x\,dx=e^x(x-1)+C\), temos \(\int2xe^x\,dx=2e^x(x-1)\).
Logo, \(x^2e^x-2e^x(x-1)+C=e^x(x^2-2x+2)+C\).
\[\int x^2e^x\,dx=e^x(x^2-2x+2)+C\]
✅ Resultado conferido
Intermediário 7. \(\displaystyle \int x^2\sin x\,dx\)
Como há produto entre polinômio e função trigonométrica, usamos partes.
Escolhemos \(u=x^2\) e \(dv=\sin x\,dx\).
Então \(du=2x\,dx\) e \(v=-\cos x\).
Aplicando: \[\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+\int2x\cos x\,dx.\]
Agora usamos o resultado \(\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x\).
Portanto, \(\int2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x\).
Resposta final: \(-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\).
\[\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\]
✅ Resultado conferido
Intermediário 8. \(\displaystyle \int x^2\cos x\,dx\)
Escolhemos \(u=x^2\) e \(dv=\cos x\,dx\).
Temos \(du=2x\,dx\) e \(v=\sin x\).
Aplicando partes: \[\int x^2\cos x\,dx=x^2\sin x-\int2x\sin x\,dx.\]
Pelo resultado básico, \(\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x\).
Logo, \(\int2x\sin x\,dx=-2x\cos x+2\sin x\).
Substituindo: \(x^2\sin x-(-2x\cos x+2\sin x)+C\).
Resposta final: \(x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C\).
\[\int x^2\cos x\,dx=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C\]
✅ Resultado conferido
Intermediário 9. \(\displaystyle \int x\arctan x\,dx\)
Pela regra LIATE, a função inversa trigonométrica tem prioridade para ser \(u\).
Escolhemos \(u=\arctan x\) e \(dv=x\,dx\).
Então \(du=\frac{1}{1+x^2}\,dx\) e \(v=\frac{x^2}{2}\).
Aplicando partes: \[\int x\arctan x\,dx=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac12\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx.\]
Reescrevemos \(\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}\).
Então a nova integral é \(\int\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=x-\arctan x\).
Logo, \(\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac12(x-\arctan x)+C\).
Organizando: \(\frac{x^2+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C\).
\[\int x\arctan x\,dx=\frac{x^2+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C\]
✅ Resultado conferido
Intermediário 10. \(\displaystyle \int e^x\sin x\,dx\)
Neste tipo de integral, a aplicação por partes faz a integral original reaparecer.
Chame \(I=\int e^x\sin x\,dx\).
Escolha \(u=\sin x\), \(dv=e^x\,dx\). Então \(du=\cos x\,dx\) e \(v=e^x\).
Assim, \[I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx.\]
Agora calcule \(J=\int e^x\cos x\,dx\). Por partes, com \(u=\cos x\) e \(dv=e^x\,dx\): \(J=e^x\cos x+I\).
Substituindo em \(I=e^x\sin x-J\), vem \(I=e^x\sin x-(e^x\cos x+I)\).
Logo, \(2I=e^x(\sin x-\cos x)\).
Portanto, \(I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\).
\[\int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\]
✅ Resultado conferido
Bloco 3 — Avançando com integrais definidas
Aqui a técnica aparece em casos onde a integral pode reaparecer ou onde os limites precisam ser avaliados corretamente.
Avançando 11. \(\displaystyle \int e^x\cos x\,dx\)
Chame a integral de \(I\): \(I=\int e^x\cos x\,dx\).
Escolha \(u=\cos x\) e \(dv=e^x\,dx\). Então \(du=-\sin x\,dx\) e \(v=e^x\).
Aplicando partes: \[I=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx.\]
Agora calcule \(\int e^x\sin x\,dx\) por partes: escolha \(u=\sin x\), \(dv=e^x\,dx\).
Isso dá \(\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx=e^x\sin x-I\).
Substituindo: \(I=e^x\cos x+e^x\sin x-I\).
Assim, \(2I=e^x(\sin x+\cos x)\).
Logo, \(I=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C\).
\[\int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C\]
✅ Resultado conferido
Avançando 12. \(\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx\)
Usamos a fórmula definida: \(\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du\).
Escolhemos \(u=x\), \(dv=e^x\,dx\), então \(du=dx\) e \(v=e^x\).
Aplicando: \[\int_0^1 xe^x\,dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx.\]
Temos \([xe^x]_0^1=e\).
E \(\int_0^1 e^x\,dx=[e^x]_0^1=e-1\).
Portanto, \(e-(e-1)=1\).
\[\int_0^1 xe^x\,dx=1\]
✅ Resultado conferido
Avançando 13. \(\displaystyle \int_0^{\pi}x\sin x\,dx\)
Escolhemos \(u=x\) e \(dv=\sin x\,dx\).
Então \(du=dx\) e \(v=-\cos x\).
Pela fórmula definida: \[\int_0^{\pi}x\sin x\,dx=[-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx.\]
O primeiro termo é \([-x\cos x]_0^{\pi}=\pi\), pois \(\cos\pi=-1\).
O segundo termo é \([\sin x]_0^{\pi}=0\).
Logo, o valor da integral é \(\pi\).
\[\int_0^{\pi}x\sin x\,dx=\pi\]
✅ Resultado conferido
Bloco 4 — Aplicações nas ciências exatas
Nesta etapa, interpretamos integrais por partes em problemas de acumulação, resposta de sistemas e grandezas oscilatórias.
Aplicação 14. \(\displaystyle \int_0^2 te^{-t}\,dt\)
A integral representa uma resposta acumulada ponderada pelo tempo.
Escolhemos \(u=t\) e \(dv=e^{-t}\,dt\).
Então \(du=dt\) e \(v=-e^{-t}\).
Aplicando a fórmula definida: \[\int_0^2 te^{-t}\,dt=[-te^{-t}]_0^2+\int_0^2 e^{-t}\,dt.\]
O primeiro termo é \([-te^{-t}]_0^2=-2e^{-2}\).
O segundo termo é \(\int_0^2e^{-t}\,dt=[-e^{-t}]_0^2=1-e^{-2}\).
Somando: \(-2e^{-2}+1-e^{-2}=1-3e^{-2}\).
\[\int_0^2 te^{-t}\,dt=1-3e^{-2}\]
✅ Resultado conferido
Aplicação 15. \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}t\cos t\,dt\)
A grandeza oscilatória está ponderada pelo tempo, por isso a técnica por partes é natural.
Escolhemos \(u=t\) e \(dv=\cos t\,dt\).
Então \(du=dt\) e \(v=\sin t\).
Aplicando: \[\int_0^{\pi/2}t\cos t\,dt=[t\sin t]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt.\]
O primeiro termo é \([t\sin t]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}\).
O segundo termo é \(\int_0^{\pi/2}\sin t\,dt=1\).
Logo, o valor final é \(\frac{\pi}{2}-1\).
\[\int_0^{\pi/2}t\cos t\,dt=\frac{\pi}{2}-1\]
✅ Resultado conferido